EVENTOS INDEPENDIENTES: REGLA DE BAYES

HISTORIA DE TEOREMA DE BAYES

En 1793 se publicó el articulo An essa towards solving a problem in the doctrine of chances, (Un ensayo hacia la solución de problemas en disciplina del azar. T. del Ed.) escrito por el reverendo Thomas Bayes(1701 – 1761). En dicho artículo, Bayes presento una sencilla demostración de la teoría de la probabilidad cuyas consecuencias difícilmente podía prever. 

Con esa demostración, Bayes estableció los principios de la estadística bayesiana, la cual después cayó en el olvido y fue marginada por muchos años, hasta su resurgimiento y utilización para resolver todo tipo de problemas, desde la interpretación de mensajes en la Segunda Guerra Mundial hasta la actual decodificación del material genético.

Bayes ya había muerto cuando su famoso artículo fue enviado por su amigo Richard Price a la revista Philosophical Transactions. Algunos estudiosos todavía debaten si Price únicamente envió el artículo o también tuvo alguna intervención como autor.

El de Bayes es un teorema válido del “Cálculo de probabilidades”, lo que hoy llamamos “Teoría matemática de probabilidad” (TMP). Este teorema también es conocido como teorema de probabilidad de un evento A dada la información B calculándola al revés, esto es, estableciendo la probabilidad a priori del evento A, y la probabilidad de que hubiese ocurrido el evento B dado el evento A.

Con las herramientas y la elaboración de la TMP actuales el teorema de Bayes es muy sencillo de probar. De hecho Bayes probó una versión particular que se ha generalizado a espacios abstractos usando medidas de probabilidad. En términos de TMP, la historia del teorema sencillo. Pero como es de uso común en la TMP hasta nuestros días, Bayes también quiso “interpretar” el teorema, es decir, explicarlo en términos de una posible interpretación de la teoría.

TEOREMA DE BAYES

En la formula asuma que los eventos A1 y A2, son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, y A se refiere a cualquiera de ambos eventos. De ahí que en este caso A1 y A2 son complementos.

Formula del Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, dentro de la teoría de probabilística, proporciona la distribución de probabilidad condicional de un evento “A” dado otro evento “B” (probabilidad posterior), en función de la distribución de probabilidad condicional del evento “B” dado “A” y de la distribución de probabilidad marginal del evento “A” (probabilidad simple).

Partiendo de las fórmulas de probabilidad condicional

Y probabilidad conjunta

EJEMPLO:

Un fabricante de teléfonos celulares compra un microchip en particular, denominado LS-24, a 3 proveedores. Hall Electronics, Schuller Sales y Crawford Components. Del total de piezas 30% lo adquiere Hall Electronics; 20% de Shuller Sales y el restante 50% de Crawford Components. El fabricante cuenta con amplios historiales sobre los 3 proveedores y conoce los porcentajes de defectos de los dispositivos de cada proveedor: 3% en el caso de Hall Electronics; 5% en el de Schuller Sales y 4%  en el de Crawford Components.

Cuando el fabricante recibe el material, lo lleva directamente a un depósito y no lo inspecciona ni lo identifica con el nombre del proveedor. Un trabajador selecciona un microchip para instalarlo y lo encuentra defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado Schuller Sales?

A1 = El chip LS-24 se le compró a Hall Electronics

A2 = El chip LS-24 se le compró a Schuller Sales

A3 = El chip LS-24 se le compró a Crawford Components

P(A1) = 0.30

P(A2) = 0.20

P(A3) = 0.50

B1 = El LS-24 tiene defectos

B2 = No tiene

P(B1|A1) = 0.30 à Probabilidad de que el chip LS-24 de Hall Electronics este defectuoso

P(B1|A2) = 0.05 à Probabilidad de que el chip LS-24 de Schuller Sales este defectuoso

P(B1|A3) = 0.04 à Probabilidad de que el chip LS-24 de Crawford Components este defectuoso

La probabilidad de que el chip LS-24 lo haya fabricado Schuller Sales es de 26%

Referencia

(s.f.). Obtenido de www.estadistica2013cimat.mx/bayes

Ramirez Duarte, S. (1 de Mayo de 2011). Teorema de bayes. Obtenido de SlideShare.net: https://es.slideshare.net/psy-roman/teorema-de-bayes-7796271