PRINCIPIO ADITIVO
Si
se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para
ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o
formas… y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o
formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de
M + N + … + W maneras o formas
EJEMPLOS:
1) Una
persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede
seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude
a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos
tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se
presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores
diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca
GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores
diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de
comprar una lavadora?
Solución:
M:
Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N: Número
de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W:
Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M =
2 * 4 * 2 = 16 maneras
N =
3 * 2 * 2 = 12 maneras
W =
1 * 2 * 1 = 2 maneras
M +
N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
2)
Rafael Luna desea ir a las Vegas o Disneylandia en los próximas vacaciones de
verano, para ir a las Vegas él tiene 3 medios de transporte para ir de
Chihuahua al paso Texas y dos medios de transporte para ir del paso a las
Vegas, mientras que para ir del paso a Disneylandia él tiene 4 diferentes medos
de transporte. ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a
Disneylandia?
Solución:
V:
maneras de ir a las Vegas
D:
maneras de ir a Disneylandia
V =
3 * 2 = 6 maneras
D =
3 * 4 = 12 maneras
V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si desea
realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la
actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el
segundo paso de N2 maneras o formas y el r – ésimo paso de Nr maneras o formas,
entonces esta actividad puede ser llevada a efecto del principio multiplicativo
implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto,
uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de N1 maneras diferentes, el
evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el
evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de
maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2 … y Ep” es
igual a producto.
N1 * N2 * … * Nr maneras o formas
EJEMPLOS:
1) Una
persona desea construir su casa, para la cuál considera que puede construir los
cimientos de su casa de cualquier de dos maneras (concreto o block de cemento),
mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo
puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede
realizar de una sola manera ¿Cuántas maneras tiene esta persona de construir su
casa?
Solución:
Considerando
que r = 4 pasos
N1 =
maneras de hacer cimientos = 2
N2 =
maneras de construir paredes = 3
N3 =
maneras de hacer techos = 2
N4 =
maneras de hacer acabados = 1
N1 *
N2 * N3 * N4 = 2 * 3 * 2 * 1 = 12 maneras de construir la casa
2)
¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis
dígitos tomados del 0 al 9?
Considere
que el 0 no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos.
Solución:
9 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 900000 números telefónicos
¿CÓMO PODEMOS DISTINGUIR
CUANDO HACER USO DEL PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Y CUANDO EL PRINCIPIO ADITIVO?
Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada
a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio
multiplicativo y si la actividad o desarrollar o a ser efectuada tiene
alternativas para hacer llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
NOTACIÓN FACTORIAL
El
factorial de un número entero positivo se define como el producto que se
obtiene de multiplicar los números enteros desde 1 hasta el número n indicado
en el factorial. La notación de factorial que usaremos es la siguiente:
n! = 1 * 2 * 3 * 4 * … * x(n - 1) * n
También:
n! = n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) * … * 2 * 1
Un
factorial se designa con un número natural positivo seguido por un signo de
exclamación:
El
valor de un factorial es el producto de todos los números desde 1 hasta el
número del factorial.
PROPIEDADES
BÁSICAS DEL FACTORIAL:
REGLA DE LA SUMA
En
la solución de algunos problemas es necesario considerar la probabilidad de que
ocurra un suceso A o un suceso B (o de que ambos ocurran) como único resultado
de un procedimiento. Esto se representa con la expresión P(A o B)
P(A o B) = P(Ocurre el suceso A u ocurre el suceso B o
ambos)
-
SUCESO COMPUESTO: Es cualquier suceso que combina dos o más sucesos simples.
- Para calcular la probabilidad de que un suceso A ocurra o un suceso B
ocurra, se calcula el número total de formas en que A puede ocurrir y el número
de formas en que B puede ocurrir, pero de tal forma que ningún resultado se
cuente más de una vez.
EJEMPLOS:
1) Una máquina automática llena bolsas de plástico con una combinación de
frijoles, brócoli y otras verduras. La mayoría de estas contiene el peso
correcto, aunque, como consecuencia de a variación del tamaño de frijol y de
algunas verduras, un paquete podría pesar menos o más. Una revisión de 4000
paquetes que se llenaron el mes previo arrojó los siguientes datos:
Peso
|
Evento
|
Número de paquetes
|
Menos peso
|
A
|
100
|
Peso satisfactorio
|
B
|
3600
|
Más peso
|
C
|
300
|
¿Cuál
es la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o más?
P(A
o C) = P(A) + P(C)
= (100/4000) + (300/4000)
= 0.025 + 0.075
= 0.1
Entonces
lo multiplicamos por 100
0.1*
100 = 10%
Por lo tanto la probabilidad de que un paquete en particular pese menos
o más, es del 10%
2)
200
turistas
120
de 200 van a Disneylandia
100
de 200 van a Busch Gardes
60
de 200 van a ambos lugares
P(Disney
o Busch) = (120/200) + (100/200) + (60/200)
P(Disney o Busch) = 0.80
PERMUTACIÓN
Es
una noción que proviene del latín permulatio. El término refiere al
procedimiento y el resultado de permutar. Este verbo, por su parte, hace
mención al canje de una cosa por otra, sin la intermediación de dinero a menos
que se busque equiparar el valor de los objetos permutados.
La
noción de permutación es habitual en el campo de la matemática. En este caso,
la idea menciona a los posibles ordenamientos de aquellos elementos que forman
parte de un conjunto no infinito.
Esto
quiere decir que una permutación es un cambio de la manera en la que se
disponen los elementos. Puede considerarse como una función de tipo biyectiva
dentro del conjunto, ya que señala distintas correspondencias entre los
elementos.
Existe
una clase especial de permutación que denomina ciclo. En este caso, una
cantidad determinada de elementos se mantiene fija, mientras que el resto se
moviliza de manera cíclica. Cuando no hay elementos que permanezcan fijos, se habla
de permutación cíclica.
Cuando
se aplica un ciclo a un elemento Y de un conjunto, se espera que todos los
demás elementos pasen, tarde o temprano, por la posición que ocupa Y
originalmente. La contrapartida de esta situación es que Y también ocupará todas
las otras posiciones de los elementos que están sometidos a la permutación.
Se
conoce con el nombre de combinatoria al estudio de la numeración, la existencia
y la construcción de propiedades de configuraciones que cumplan determinadas
condiciones.
La
combinatoria estudia la cantidad de maneras diferentes en las que se pueden
considerar conjuntos que se forman partiendo de elementos de un conjunto
inicial, siguiendo determinadas reglas. De esta manera, un problema
combinatorio suele consistir en establecer una regla acerca de la forma en la
cual se deben dar las llamadas agrupaciones y determinar cuántas de ellas que
satisfacen dicha regla. Se deben tener en cuenta las combinaciones, las
variaciones y las permutaciones, con o sin repetición.
Hay un tipo de permutación denominada transposición, que consiste en
agrupar los elementos en ciclos de longitud 2. Es posible escribir cualquier
permutación como un producto de transposiciones y, por lo tanto, de ciclos.
EJEMPLOS:
1)
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2,
3, 4 y 5?
m =
5 y n = 5
Si
entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Si importa el orden.
Son números distintos el 123, 231, 321 No se repiten los elementos. El
enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
Solución:
P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 2 = 120
2)
¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de
butacas?
Si
entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Si
importa el orden.
No
se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
Solución:
P8 = 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
COMBINACIÓN
Si
formamos grupos de n objetos diferentes tomándolos de r en r exigiendo que cada
grupo se diferencie de los demás al menos por la naturaleza de uno de sus
elementos, habremos obtenido las combinaciones de n objetos tomando r a la vez.
Por ejemplo, si los objetos a, b y c los tomamos de dos en dos tenemos las
siguientes combinaciones:
Ab,
ac y bc
Nótese
que para que dos grupos sean dos combinaciones diferentes tienen que tener por
lo menos un elemento distinto, resulta ser otra interpretación para este
símbolo.
Con
origen en el latín combinatorio, combinación es una palabra que refiere el acto
y consecuencia de combinar algo de combinarse (Es decir, unir, complementar o
ensamblar cosas diversas para lograr un compuesto). El concepto posee múltiples
aplicaciones ya que las cosas factibles de combinar son de características y
orígenes muy diversos.
Una
combinación, de acuerdo a la teoría, se entiende como una secuencia ordenada de
signos (que pueden ser letras y/o números) sólo conocida por uno o pocos
individuos y que permite abrir o poner en funcionamiento a determinados
mecanismos.
Claro que la idea de combinación también puede hacer referencia a la
mezcla o mixtura de colores en una misma unidad.
EJEMPLOS:
1)
En una clase de 35 alumnos se requiere elegir un comité formado por 3 alumnos.
¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No
entran todos los elementos.
No
importa el orden.
No se repiten los elementos.
2)
¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arcoíris tomándolos
de 3 en 3?
No
entran todos los elementos.
No
importa el orden
No se repiten los elementos.
DIAGRAMAS DE ÁRBOL
Es
una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual
consta de una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número
finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en problemas de conteo y
probabilidad.
Un
diagrama de árbol es un método gráfico para identificar todas las partes
necesarias para alcanzar algún objetivo final.
Se
utilizan para identificar todas las tareas necesarias para implantar una
solución.
EJEMPLOS:
1) Martha tiene en su armario 2 pantalones, uno
color azul y otro verde, y 3 jerseys, uno azul, otro verde y otro blanco. Si
escoge unos pantalones y un jersey para vestirse. ¿De cuántas maneras
diferentes puede hacerlo?
Tiene
6 maneras de vestirse
2) Isabel desea un helado y le dan escoger las siguientes posibilidades.
Tamaño grande, mediano o chico. Saber: nuez, chocolate, fresa y vainilla
¿Cuántas posibles combinaciones de helado puede armar Isabel?
Tiene 12 maneras de comprar un helado
También llamado binomio de Newton, expresa la
enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio
posee
singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee
diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento.
Para formarnos una idea de la estructura del
desarrollo de
por multiplicación directa podemos obtener:
De
acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar idea acerca de la ley que siguen
en su formación:
1.-
Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
2.- Para cada valor de n, el desarrollo de
empieza con
y termina con
En
cada termino los exponentes de a y b suman n
3.-
Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente.
La b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta
de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden
del término.
4.-
El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene
multiplicándolo en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y
dividiendo es producto entre el número de términos anteriores al que se trata
de formar.
Cierta simetría constituye una característica
del desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar al disponer los
coeficientes en el siguiente orden que se conoce como Triángulo de Pascal, para
valores enteros no negativos de n en el desarrollo de
Referencias
(s.f.). Obtenido de
http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/03Aditivo.htm
Enriquez Araiza, R. (23 de Febrero de
2014). Combinación, permutación, principio aditivo y principio
multiplicativo. Obtenido de SlideShare.net:
https://es.slideshare.net/RozytaBob/combinacin-permutacin-principio-aditivo-y-principio-multiplicativo
(s.f.). Obtenido de
http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/02Multiplicativo.htm
Pérez Palma, A. M. (29 de Noviembre de
2014). Factoriales y sumatorias. Obtenido de SlideShare.net:
https://es.slideshare.net/AntonioMezaPrezPalma/factoriales-y-sumatorias
Torres, C. (s.f.). Factorial
de un Número Entero Positivo. Obtenido de edumate.wordpress:
https://carlosmath.files.wordpress.com/2011/07/factorial-nc3bamero-combinatorio.pdf
Valdes Bermudes, G.
(6 de Julio de 2011). Fundamentos de probabilidad regla de la suma.
Obtenido de SlideShare.net: https://es.slideshare.net/gevalbe/fundamentos-de-probabilidad-regla-de-la-suma
(s.f.). Obtenido de
http://www.vitutor.com/pro/1/a_p.html
Pérez Porto, J.,
& Gardey, A. (2013). Obtenido de http://definicion.de/permutacion/
(s.f.). Obtenido de
www.vitutor.com/pro/1/a_c.html
Pérez Porto, J., & Gardey, A.
(2010). Obtenido de http://definicion.de/combinacion/
Vazquez Cruz, R.
(1993). estadistica elemental. EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD DE PUERTO
RICO.
(s.f.). Obtenido de
red.ilce.edu.mx/sitios/proyectos/dosdetres_pri12/eta2act1_diag_ar.html
Gonzalez De Espino,
B. (17 de Abril de 2012). Obtenido de
https://es.slideshare.net/LalisEspinoza/diagrama-de-arbol-12579808
Moreno, J. M. (11 de Diciembre de
2014). Teorema del binomio. Obtenido de SlideShare.net:
https://es.slideshare.net/betalg1/teorema-del-binomio-42618917
